Содержание
Элементы конуса
Определение.Вершина конуса – это точка (K), из которой исходят лучи.Определение.Основание конуса – это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.Определение.Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.Формула.Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):
L2 = R2 + H2
Определение.Направляющая конуса – это кривая, которая описывает контур основания конуса.Определение.Боковая поверхность конуса – это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.Определение.Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.Определение.Высота конуса (H) – это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.Определение.Ось конуса (a) – это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.Определение.Конусность (С) конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса – это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:
C = | D | и C = | D – d |
H | h |
где C – конусность, D – диаметр основания, d – диаметр меньшего основания и h – расстояние между основаниями. Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:
α = 2arctg | R |
H |
где R – радиус основы, а H – высота конуса. Определение.Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса.
Определение.Касательная плоскость к конусу – это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).Определение.Прямой конус – это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.Формула.Объём кругового конуса:
V = | 1 | πHR2 |
3 |
где R – радиус основы, а H – высота конуса.Формула.Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:
Sb = πRL
Формула.Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:
Sp = πRL + πR2
Определение.Косой (наклонный) конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.Формула.Объём любого конуса:V = | 1 | SH |
3 |
где S – площадь основы, а H – высота конуса. Определение.Усеченный конус – это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.Формула.Объём усеченного конуса:
V = | 1 | (S2H – S1h) |
3 |
где S1 и S2 – площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h – расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.
Почему пожарные ведра имеют форму конуса?
Кто задумывался, почему пожарные ведра имеют, казалось бы, странную коническую форму? А это не просто так. Оказывается, коническое ведро при тушении пожара имеет много преимуществ перед обычным, имеющим форму усеченного конуса.
Во-первых, как оказывается, пожарное ведро быстрее наполняется водой и при переноске она не расплескивается. Конус, объем которого больше обычного ведра, за один раз позволяет перенести больше воды.
Во-вторых, воду из него можно выплеснуть на большее расстояние, чем из обычного ведра.
В-третьих, если коническое ведро сорвется с рук и упадет в огонь, то вся вода выливается на очаг возгорания.
Все перечисленные факторы позволяют сэкономить время — главный фактор при тушении пожара.
Конус и его сечение плоскостью
Перу древнегреческого математика Аполлония Пергского принадлежит теоретический труд «Конические сечения». Благодаря его работам в геометрии появились определения кривых: параболы, эллипса, гиперболы. Рассмотрим, причем здесь конус.
Возьмем прямой круговой конус. Если плоскость пересекает его перпендикулярно оси, то в разрезе образуется круг. Когда секущая пересекает конус под углом к оси, то в разрезе получается эллипс.
Секущая плоскость, перпендикулярная основанию и параллельная оси конуса, образует на поверхности гиперболу. Плоскость, разрезающая конус под углом к основанию и параллельная касательной к конусу, создает на поверхности кривую, которую назвали параболой.
Развертка усеченного конуса
Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.
Алгоритм
- Строим вспомогательный конус ε, подобный конусу ω, как это показано на рисунке выше. Для удобства построения величину диаметра d выбираем таким образом, чтобы соотношение t=D/d выражалось целым числом. В рассматриваемом примере t=2.
- Строим развертку боковой поверхности конуса ε – S0A01020304050A0 и на биссектрисе угла A0S0A0 отмечаем точку O0, выбрав ее расположение произвольно.
- Проводим прямые O0A0, O010, O020, O030, O040, O050, O0A0 и на них откладываем отрезки [O0A10]=t×|O0A0|, [O0110]= t×|O010|, [O0210]=t×|O020|, [O0310]=t×|O030|, [O0410]=t×|O040|, [O0510]=t×|O050|, [O0A10]=t×|O0A0| соответственно, где t=D/d. Соединяем точки A10, 110, 210, 310, 410, 510, A10 плавной линией.
- Из точек A10, 110, 210, 310, 410, 510, A10 проводим лучи, которые параллельны соответственно прямым A0S0, 10S0, 20S0, 30S0, 40S0, 50S0, A0S0, и на них откладываем отрезки A10B10, 110120, 210220, 310320, 410420, 510520, A10B10, равные l – образующей усеченного конуса. Проводим линию B10120220320420520B10.
Изготовление конуса без циркуля
Бывает так, что циркуля нет или пользоваться им не хочется, а изготовить правильный конус нужно срочно. Megamaster.info расскажет вам, как сделать конус из бумаги без применения циркуля.
Для работы вам потребуется:
- бумага;
- ножницы;
- скотч.
Приступаем к работе:
Читайте также: Как на мотоблок поставить колеса от жигулей
- Из бумаги нам нужно вырезать треугольник. Фигура должна иметь длинный низ, и идентичные короткие боковины. Получается так называемая развёртка конуса.
- Складываем углы бумаги так, чтобы край заготовки располагался посередине. Второй угол также сворачиваем. Оборачиваем эту часть фигуры вокруг предыдущего угла. У вас уже должно получиться что-то похожее на конус.
- У изделия ну;но выровнять края. Аккуратно и тщательно затягиваем углы. Делаем это так, чтобы фигура не распалась.
- Если вы заметили, что у изделия торчат лишние участки бумаги, это значит, что изначально треугольник был сделан неправильно. Ситуацию можно исправить переделыванием поделки, отрезанием лишних участков с помощью ножниц или простым загибанием остатков внутрь изделия.
- Осталось закрепить фигуру, чтобы она не потеряла свою форму. Возьмите скотч и проклейте заготовку изнутри.
Конус без использования циркуля готов.